Question

9．已知a＞0，b＞0，求证：$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$≥$\frac{（x+y）^{2}}{a+b}$．

Answer 1

分析 由a＞0，b＞0，可得（a+b）（$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$）=x²+y²+$\frac{b{x}^{2}}{a}$+$\frac{a{y}^{2}}{b}$，运用二元均值不等式，即可得证．

解答 证明：由a＞0，b＞0，可得
（a+b）（$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$）=x²+y²+$\frac{b{x}^{2}}{a}$+$\frac{a{y}^{2}}{b}$
≥x²+y²+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$xy=x²+y²+2xy
=（x+y）²，（当且仅当b|x|=a|y|取得等号）．
即有$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$≥$\frac{（x+y）^{2}}{a+b}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用均值不等式，以及不等式的性质，考查运算和推理能力，属于基础题．