Question

已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、

轴上的动点，且满足．若点满足．

(Ⅰ)求点的轨迹的方程；

(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交

于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，

请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) (Ⅱ)的值是定值，且定值为

【解析】

试题分析：(Ⅰ)椭圆右焦点的坐标为，   

．，

由，得．                        

设点的坐标为，由，有，

代入，得．                   

（Ⅱ）解法一：设直线的方程为，、，

则，．                         

由，得， 同理得．    

，，则．

由，得，．            

则．                   

因此，的值是定值，且定值为．                     

解法二：①当时， 、，则，  ．

由 得点的坐标为，则．

由 得点的坐标为，则．

．                    

②当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解

法一，得．                           

由，得，．       

则．                   

因此，的值是定值，且定值为．                   

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

点评：解决此类题目的关键是熟练掌握求轨迹方程的方法（消参法），以及设点利用点表示

有关的向量的表达式即可，此题对计算能力要求较高．