Question

已知泊数f（x）=sinxcosx-

3

sin2x
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将f（x）=sinxcosx-

3

sin²x化为f（x）=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，即可求其最小正周期；
（Ⅱ）由0≤x≤

π

2

，可求得

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，由正弦函数的性质即可求得f（x）在区间[0.

π

2

]上的最大值和最小值．

解答：解：∵f（x）=sinxcosx-

3

sin²x
=

1

2

sin2x-

3

•

1-cos2x

2

…4
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x-

3

2

=sin（2x+

π

3

）-

3

2

…6
∴函数f（x）的最小正周期为π…7
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，
∵0≤x≤

π

2

，
∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴当2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

时，f（x）取得最大值1-

3

2

；…10
当2x+

π

3

=

4π

3

，即x=

π

2

时，f（x）取得最小值-

3

…13

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查三角变换（降幂公式与辅助角公式）的应用，属于中档题．