题目内容
9.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求直线2x-y+4=0被圆C所截得的弦长;
(2)求过点M(3,1)的圆C的切线方程.
分析 (1)求出圆心C(1,2)到直线2x-y+4=0的距离,即可求直线2x-y+4=0被圆C所截得的弦长;
(2)分类讨论,利用圆心C(1,2)到直线kx-y-3k+1=0的距离等于r,即可求过点M(3,1)的圆C的切线方程.
解答 解:圆C:(x-1)2+(y-2)2=4的圆心为(1,2),半径长r=2,
(1)圆心C(1,2)到直线2x-y+4=0的距离为:$d=\frac{{|{2×1-2+4}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{4}{{\sqrt{5}}}$,
所以直线2x-y+4=0被圆C所截得的弦长为:$2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{4-{{({\frac{4}{{\sqrt{5}}}})}^2}}=2\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
(2)因为(3-1)2+(1-2)2=5>4,所以点M在圆外,
当切线斜率存在时,设切线方称为:y-1=k(x-3)
即kx-y-3k+1=0,
圆心C(1,2)到直线kx-y-3k+1=0的距离为:$d=\frac{{|{k-2-3k+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{|{2k+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$
由题意有:$d=\frac{{|{2k+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2=r$,所以$k=\frac{3}{4}$
此时切线方称为:$y-1=k=\frac{3}{4}({x-3})$,即3x-4y-5=0,
当切线斜率不存在时,直线x=3也与圆相切.
综上所述,所求切线方称为:3x-4y-5=0或x=3.
点评 本题考查直线与圆的位置关系,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.
练习册系列答案
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| A. | 14或-6 | B. | 12或-8 | C. | 8或-12 | D. | 6或-14 |