Question

3．已知双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}+4}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]．

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线通径的性质分析可得2×$\frac{{b}^{2}}{\sqrt{{m}^{2}+4}}$=2，即b²=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，又由双曲线离心率公式可得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+4}}$，分析可得e²的取值范围，化简可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1中，其过焦点的最短弦为通径，其长为$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
又由双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}+4}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，若其过焦点的最短弦长为2，
则有2×$\frac{{b}^{2}}{\sqrt{{m}^{2}+4}}$=2，即b²=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，
该双曲线的离心率为e，
则e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{\sqrt{{m}^{2}+4}}{{m}^{2}+4}$=1+$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+4}}$，
分析可得：1＜e²≤$\frac{3}{2}$，
则有1＜e≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$，即e的取值范围是（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]，
故答案为：（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线中其过焦点的最短弦长为$\frac{2{b}^{2}}{a}$．