Question

17．已知数列{a_n}满足a₁=0，a_n+1=$\frac{{{a_n}-\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}{a_n}+1}}，n∈{N^*}，则{a_{2016}}$=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用递推关系可得：a_n+3=a_n．利用周期性即可求出a₂₀₁₆．

解答 解：由${a}_{1}=0，{a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_{n}+1}$，得
${a}_{2}=-\sqrt{3}$，${a}_{3}=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}×（-\sqrt{3}）+1}=\sqrt{3}$，a₄=0，…
由上可知，数列{a_n}是以3为周期的周期数列，
则${a}_{2016}={a}_{3×671+3}={a}_{3}=\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．