Question

7．已知变量x，y满足$\left\{\begin{array}{l}3x+y-3≤0\\ 2x-3y+6≥0\\ 2x-y-2≤0\end{array}\right.$，若z=2x+3y的最大值为m，最小值为n，则m${\;}^{\frac{1}{n}}$=$3\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值和最小值，进行计算即可．

解答 解：不等式组$\left\{\begin{array}{l}3x+y-3≤0\\ 2x-3y+6≥0\\ 2x-y-2≤0\end{array}\right.$表示的平面区域如图中△ABC（包括边界），由图可知，
由z=2x+3y，得y=$-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$，
平移直线y=$-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$，由图象可知当直线y=$-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$经过点A时，z取得最大值．
由$\left\{\begin{array}{l}2x-3y+6=0\\ 2x-y-2=0\end{array}\right.$，解得A（3，4）．
所以目标函数的最大值为z=2×3+3×4=18．即m=18．
当直线y=$-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$经过点B时，z取得最小值．
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-3=0}\\{2x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得B（1，0）．
所以目标函数的最小值为z=2×1+3×0=2．即n=2．
所以m${\;}^{\frac{1}{n}}$=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$，
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件求出最大值和最小值是解决本题的关键．