Question

8．设f（x）=|lg（x-1）|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则ab的取值范围是（4，+∞）．

Answer 1

分析 f（x）是含有绝对值的函数，结合函数的图象或通过去绝对值考查f（x）的单调性，找出a和b的关系，结合基本不等式求范围即可．

解答 解：先画出函数f（x）=|lg（x-1）|的图象，如图：
∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴1＜a＜2，b＞2，
∴-lg（a-1）=lg（b-1），
∴$\frac{1}{a-1}$=b-1，
∴a=1+$\frac{1}{b-1}$，
∴ab=b+$\frac{b}{b-1}$=b+$\frac{b-1+1}{b-1}$=b-1+$\frac{1}{b-1}$+2＞2$\sqrt{（b-1）•\frac{1}{b-1}}$=4，
∴ab的取值范围是（4，+∞），
故答案为：（4，+∞）

点评 本题考查函数的性质、基本不等式等，去绝对值是解决本题的关键，综合性强．