Question

2．在讨论函数局部性质时，可以使用简单的一次函数来替代复杂的原函数，进而推导出正确的结论．在某值附近，用简单的一次函数，可以近似替代复杂的函数，距离某值越近，近似的效果越好．比如，当|x|很小时，可以用y=x+1近似替代y=e^x．
（1）求证：x＜0时，用x+1替代e^x的误差小于$\frac{1}{2}$x²，即：x＜0时，|e^x-x-1|＜$\frac{1}{2}$x²；
（2）若x＞0时，用x替代sinx的误差小于ax³，求正数a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到e^x-x-1＞0，设h（x）=e^x-x-1-$\frac{1}{2}$x²，根据函数的单调性判断出结论即可；
（2）设φ（x）=x-sinx，求出函数的导数，问题只需x-sinx-ax³＜0恒成立，设g（x）=x-sinx-ax³，通过讨论a的范围结合函数的单调性判断即可．

解答 解：（1）设f（x）=e^x-x-1，f′（x）=e^x-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）递减，
∴x＜0时，f（x）＞f（0）=0，
即e^x-x-1＞0，
设h（x）=e^x-x-1-$\frac{1}{2}$x²，
x≤0时，h′（x）=e^x-1-x≥0，
∴h（x）在（-∞，0]递增，
∴x＜0时，h（x）＜h（0）=0，
即e^x-x-1-$\frac{1}{2}$x²＜0，
∴x＜0时，|e^x-x-1|＜$\frac{1}{2}$x²；
（2）即求使x＞0时，|x-sinx|＜ax³恒成立的最小正数a，
设φ（x）=x-sinx，φ′（x）=1-cosx≥0，∴φ（x）在[0，+∞）递增，
∴x＞0时，φ（x）＞φ（　　））=0，∴x-sinx＞0，
∴只需x-sinx-ax³＜0恒成立，
设g（x）=x-sinx-ax³，
当a≥$\frac{1}{6}$时，g′（x）=1-cosx-3ax²，g″（x）=sinx-6ax，
x≥0时，sinx≤x，∴g″（x）≤x-6ax≤0，
∴g′（x）在[0，+∞）递减，
∴x≥0时，g′（x）≤g′（0）=0，
∴g（x）在[0，+∞）递减，
∴x＞0时，g（x）＜g（0）=0，即x-sinx＜ax³，
∴a≥$\frac{1}{6}$时，|x-sinx|＜ax³恒成立，
当0＜a＜$\frac{1}{6}$时，g′″（x）=cosx-6a，
?x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），使得cosx₀-6a=0，
且x∈[0，x₀]时，g′″（x）≥0，∴g″（x）在[0，x₀]上单增，
∴x∈[0，x₀]时，g″（x）≥g″（0）=0，∴g′（x）在[0，x₀]上单增，
∴x∈[0，x₀]时，g′（x）≥g′（0）=0，∴g（x）在[0，x₀]上单增，
∴x∈（0，x₀]时，g（x）＞g（0）=0，
即x-sinx-ax³＞0，这与题意不符，
综上，所求正数a的最小值为$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．