Question

16．已知函数f（x）满足f（1+$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x^2}$-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=$\frac{{a{x^2}+x}}{f（x）}$在区间（2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据换元法求出f（x）的解析式即可；（2）求出g（x）的解析式，得到g（x）的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵f（1+$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x^2}$-1，
令1+$\frac{1}{x}$=t，则$\frac{1}{x}$=t-1，
则f（t）=（t-1）²-1=t²-2t（t≠0），
故f（x）=x²-2x，（x≠0）；
（2）g（x）=$\frac{{a{x^2}+x}}{f（x）}$=$\frac{ax+1}{x-2}$，（x＞2），
g′（x）=$\frac{-2a-1}{{（x-2）}^{2}}$，
若g（x）在（2，+∞）递增，
则$\frac{-2a-1}{{（x-2）}^{2}}$＞0在（2，+∞）恒成立，
故-2a-1＞0，即a＜-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．