Question

15．如图，在四面体ABCD中，CD=CB，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面EFC；
（Ⅱ）当AD=CD=BD=1，且EF⊥CF时，求三棱锥C-ABD的体积．

Answer 1

分析 （I）由CB=CD得CF⊥BD，由AD⊥BD，AD∥EF得EF⊥BD，故BD⊥平面CEF，于是平面ABD⊥平面EFC；
（II）由CF⊥BD，CF⊥EF得CF⊥平面ABD，即CF为棱锥的高．底面为直角△ABD，代入体积公式计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF∥AD，∵AD⊥BD，∴EF⊥BD，
∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．
又∵CF∩EF=F，CF?平面CEF，EF?平面CEF，
∴BD⊥面EFC，∵BD?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面EFC．
（Ⅱ）解：∵CF⊥BD，EF⊥CF，EF∩BD=F，BD?平面ABD，EF?平面ABD，
∴CF⊥平面ABD，
∵CB=CD=BD=1，∴$CF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵AD=BD=1，AD⊥BD，∴${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}$，
∴${V_{C-ABD}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．

点评 本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．