Question

13．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），已知xf'（x）+f（x）＜-f'（x），f（2）=$\frac{1}{3}$，则不等式f（e^x-2）-$\frac{1}{{{e^x}-1}}$＜0（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）

• A． （0，ln4）
• B． （-∞，0）∪（ln4，+∞）
• C． （ln4，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x）=（x+1）f（x），求函数的导数，研究函数的单调性，将不等式进行转化求解即可．

解答 解：由xf'（x）+f（x）＜-f'（x），得xf'（x）+f（x）+f′（x）＜0，
即（x+1）f'（x）+f（x）＜0，
设g（x）=（x+1）f（x），
则g′（x）=f（x）+（x+1）f'（x）＜0，
即g（x）为减函数，
∵f（2）=$\frac{1}{3}$，∴g（2）=3f（2）=3×$\frac{1}{3}$=1，
则不等式f（e^x-2）-$\frac{1}{{{e^x}-1}}$＜0等价为，
当x＞0时，e^x-1＞0，则不等式等价为（e^x-1）f（e^x-2）-1＜0，即（e^x-2+1）f（e^x-2）＜1，
即g（e^x-2）＜g（2），
则e^x-2＞2，则e^x＞4，则x＞ln4，
当x＜0时，e^x-1＜0，则不等式等价为（e^x-1）f（e^x-2）-1＞0，即（e^x-2+1）f（e^x-2）＞1，
即g（e^x-2）＞g（2），
则e^x-2＜2，则e^x＞4，则x＜ln4，
∵x＜0，
∴此时不等式的解为x＜0，
综上不等式的解为x＜0或x＞ln4，
即不等式的解集为（-∞，0）∪（ln4，+∞），
故选：B

点评 本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解是解决本题的关键．，注意要对分母进行讨论．