Question

2．S_n为等比数列{a_n}的前n项和，若2S₄=S₂+2，则S₆的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q，由于2S₄=S₂+2，对q分类讨论：q=1，则8a₁=2a₁+2，解得a₁，可得S₆=2．当q≠1时，可得$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}$=$\frac{2}{2{q}^{2}+1}$，代入S₆=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=$\frac{2}{2{q}^{2}+1}$（1+q²+q⁴），变形利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，∵2S₄=S₂+2，
若q=1，则8a₁=2a₁+2，解得a₁=$\frac{1}{3}$．∴S₆=2．
当q≠1时，$2×\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}$+2，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}$=$\frac{2}{2{q}^{2}+1}$，
则S₆=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=$\frac{2}{2{q}^{2}+1}$（1+q²+q⁴）=$\frac{4{q}^{2}+2}{4}+\frac{3}{4{q}^{2}+2}$≥2$\sqrt{\frac{4{q}^{2}+2}{4}×\frac{3}{4{q}^{2}+2}}$=$\sqrt{3}$，当且仅当q²=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$时取等号．
综上可得：S₆最小值为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．