Question

4．一次测验共有4个选择题和2个填空题，每答对一个选择题得20分，每答对一个填空题得10分，答错或不答得0分，若某同学答对每个选择题的概率均为$\frac{2}{3}$，答对每个填空题的概率均为$\frac{1}{2}$，且每个题答对与否互不影响．
（1）求该同学得80分的概率；
（2）若该同学已经答对了3个选择题和1个填空题，记他这次测验的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）记“该同学得80分”为事件A，利用n次独立重复试验概率计算公式能求出该同学得80分的概率．
（Ⅱ）由题意知，ξ的可能取值为70、80、90、100，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）记“该同学得80分”为事件A，
则$P（A）=C_4^3{（\frac{2}{3}）^3}（\frac{1}{3}）•C_2^2{（\frac{1}{2}）^2}+C_4^4{（\frac{2}{3}）^4}•C_2^2{（\frac{1}{2}）^2}=\frac{4}{27}$…（6分）
（Ⅱ）由题意知，ξ的可能取值为70、80、90、100，
$P（ξ=70）=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，
$P（ξ=80）=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，
$P（ξ=90）=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，
$P（ξ=100）=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	70	80	90	100
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

$E（ξ）=70×\frac{1}{6}+80×\frac{1}{6}+90×\frac{1}{3}+100×\frac{1}{3}=\frac{265}{3}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验概率计算公式的合理运用．