题目内容

已知定义在R的的函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，又f(1)＝－，

(1)求征，f(x)为奇函数；

(2)求证：f(x)在R上是减函数；

(3)求f(x)在[－3，6]上的最大值与最小值．

答案：
解析：

　　解．(1)证明：令x＝y＝0，由f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，得f＝0，再令y＝－x得，f(x)＋f(－x)＝0，

　　∴F(x)在R上为奇函数．(4分)

　　(2)设x1，x2且x1＜x2，则f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)

　　∴f(x2－f(x1)＝f(x2－x1)，∵x2－x1＞0，由题意得f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0

　　∴f(x)在R是减函数；(4分)

　　(3)∵f(x)在[－3，6]上是减函数，

　　∴f(x)max＝f(3)＝2，f(x)min＝f(6)＝－4(4分)


练习册系列答案
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已知定义在R上的函数f（x）满足：①函数y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称；②f（x+2）=-f（x）；③f（x）在[-2，0]上是增函数．
下列关于f（x）的命题：
①函数f（x）是周期函数；
②函数f（x）的图象关于直线x=2对称；
③函数f（x）在[0，1]上是增函数；
④函数f（x）在[2，4]上是减函数；
⑤f（4）=f（0）．
其中真命题是
①②④⑤
①②④⑤
（写出所有正确结论的序号）
已知定义在R上的函数f（x）=x3-3x，（Ⅰ）若函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，求函数g（x）的解析式
（Ⅱ）过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求m的取值范围．
（2003•崇文区一模）已知定义在R上的函数f（x）不恒为零，且满足f（x-2）=f（x+2），f（2-x）=f（2+x），则f（x）（　　）
（2009•台州一模）已知定义在R上的函数f（x）=ax3+bx+c（a，b，c∈R），当x=-1时，f（x）取得极大值3，f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知实数t能使函数f（x）在区间（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数t组成的集合为M．请判断函数g(x)=
f(x)x
(x∈M)的零点个数．
已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当0≤x＜2时，f（x）=x3-x，则函数y=f（x）在区间[0，6]上零点个数为（　　）
A、6B、9C、8D、7

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