Question

（本小题满分16分）已知函数（a为常数）.

（Ⅰ）若，写出的单调增区间；

（Ⅱ）若，设在区间上的最小值为，求的表达式；

（Ⅲ）设，若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）,;（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出函数的解析式，画图即可求出；（Ⅱ）由 ，有，对称轴，讨论函数对称轴在、、这三种情况下的最小值；（Ⅲ）确定，函数在区间上是增函数，需满足在区间上任取，且，恒成立，可转化为，对任意，且恒成立， 分、、，进行讨论.

试题解析：（1）当a=1时，，画出其图象，

易得的增区间为：和 （写对一个给2分） 4分

（2）因为，所以，又

①当，即时，在上递增，在上递减

所以 6分

②当，即时，在上递增，所以 8分

③当，即时，在上递减，所以 10分

综上： （没有用分段函数表示的不扣分）

（3），在区间上任取，且，

则

，（*） 12分

在上是增函数，，

∴（*）可转化为对任意，且都成立，

即，

①当时，上式显然成立 13分

②当时，，由，得，解得 14分

③当时，，，得 15分

所以实数的取值范围是 16分

另【解析】
当时，单调递增，满足题意； 12分

当时，在上递增，在上递减，则有 14分

当时，单调递增，满足题意； 15分

当时，在上递减，在上递增，则有

综上， 16分

考点：1、函数的单调性；2、函数的最值；3、函数知识的综合运用.