Question

7．已知数列{a_n}满足：2a_n=a_n-1+a_n+1（n≥2），a₁=1，且a₂+a₄=10，若S_n为数列{a_n}的前n项和，则$\frac{2{S}_{n}+18}{{a}_{n}+3}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． $\frac{26}{4}$
• D． $\frac{13}{3}$

Answer 1

分析 由数列递推式：2a_n=a_n-1+a_n+1（n≥2）得到{a_n}为等差数列，由等差数列的求和公式求出其前n项和，代入整理，根据数列的函数特征，求出最小值．

解答 解：数列{a_n}满足：2a_n=a_n-1+a_n+1（n≥2），
∴{a_n}为等差数列，
∵a₁=1，且a₂+a₄=10，设公差为d，
∴1+d+1+3d=10，
解得d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴s_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
∴$\frac{2{S}_{n}+18}{{a}_{n}+3}$=$\frac{2{n}^{2}+18}{2n-1+3}$=$\frac{{n}^{2}+9}{n+1}$=$\frac{（n+1）^{2}-2（n+1）+10}{n+1}$=n+1+$\frac{10}{n+1}$-2
设f（x）=x+1+$\frac{10}{x+1}$，
则f′（x）=1-$\frac{10}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}-10}{（x+1）^{2}}$，
当0＜x＜$\sqrt{10}$-1，f′（x）＜0，函数单调递减，
当x＞$\sqrt{10}$-1，f′（x）＞0，函数单调递增，
∴当x=$\sqrt{10}$-1时，函数f（x）取的最小值，
即当n=2时，n+1+$\frac{10}{n+1}$-2的最小值，即为3+$\frac{10}{3}$-2=$\frac{13}{3}$
故$\frac{2{S}_{n}+18}{{a}_{n}+3}$的最小值为$\frac{13}{3}$，
故选：D

点评 本题考查了数列递推式，关键是由递推式构造出等比数列，考查了对勾函数的图象和性质，是有一定难度题目．