题目内容
15．已知椭圆两焦点坐标为F（±3，0），长轴长为10．（1）求椭圆的标准方程；
（2）若有一条倾斜角为30°的直线过椭圆右焦点，求直线与两坐标轴所围成三角形的面积．
分析 （1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得c=3，a=5，由a，b，c的关系，可得b=4，即可得到椭圆方程；
（2）求得直线的斜率，运用点斜式方程可得直线的方程，再令x=0，y=0，可得截距，即可得到所求三角形的面积．
解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=3，2a=10，即a=5，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=4，
即有椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
（2）椭圆的右焦点为（3，0），直线的斜率为tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
可得直线的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3），
令x=0，可得y=-$\sqrt{3}$；由y=0，可得x=3．
即有直线与两坐标轴所围成三角形的面积为：
S=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查三角形的面积的计算，注意运用直线方程，求得x，y轴上的截距，属于基础题．
练习册系列答案
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5．点B，F分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点与左焦点，过F作x轴的垂线与椭圆交于第二象限的一点P，H（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0）（c为半焦距），若OP∥BH（O为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ | B． | $\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D． | $\frac{{\;}^{3}\sqrt{4}}{2}$ |