Question

如果P是函数y=f（x）图象上的点，Q是函数y=g（x）图象上的点，且P，Q两点之间的距离|PQ|能取到最小值d，那么将d称为函数y=f（x）与y=g（x）之间的距离．按这个定义，函数f(x)=x

1

2

和g(x)=

-x2+4x-3

之间的距离是

7

2

-1

．

Answer 1

分析：根据函数的表达式，发现发现y=f（x）图象是抛物线y²=x的上半支，函数y=g（x）图象是以A（2，0）为圆心半径等于1的圆的上半圆．只要找到点A与抛物线上一点的最近距离，再用这个距离减去圆的半径1，即为函数y=f（x）与y=g（x）之间的距离．再用两点的距离公式求出这个最短距离，即可得到答案．

解答：解：作出函数y=f（x）图象与函数y=g（x）图象，如右图
发现y=f（x）图象是抛物线y²=x的上半支
函数y=g（x）图象是以A（2，0）为圆心半径等于1的圆的上半圆
因此，只要找到点A与抛物线上一点的最近距离，
再用这个距离减去圆的半径1，即为函数y=f（x）
与y=g（x）之间的距离．
设动点B（t²，t）是y=f（x）图象上一点，则
AB=

(2-t 2) 2+t2

=

t4-3t2+4

当t=

3 2

=

6

2

时，AB的最小值为：

7

2

∴函数y=f（x）与y=g（x）之间的距离为

7

2

-1．
故答案为：

7

2

-1．

点评：本题考查了函数的值域，属于中档题．利用函数图象的几何意义，借助于圆与圆锥曲线来解，是解决本题的关键．