Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F．
（1）求证：AB∥EF；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥EF．

Answer 1

分析 （1）推导出AB∥CD，从而AB∥平面PDC，由此能证明AB∥EF．
（2）推导出AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而AB⊥AF，由AB∥EF，能证明AF⊥EF．

解答 证明：（1）因为ABCD是矩形，所以AB∥CD．
又因为AB?平面PDC，CD?平面PDC，
所以AB∥平面PDC．
又因为AB?平面ABEF，平面ABEF∩平面PDC=EF，
所以AB∥EF．
（2）因为ABCD是矩形，所以AB⊥AD．
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD．
又AF?平面PAD，所以AB⊥AF．
又由（1）知AB∥EF，所以AF⊥EF．

点评 本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．