Question

7．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3，D、E分别是BC、AB的中点，F是CC₁上一点，且CF=2C₁F．
（1）求证：C₁E∥平面ADF；
（2）若BC=2，求证：B₁F⊥平面ADF．

Answer 1

分析 （1）（证法一）连接CE与AD交于点H，连接FH，可得H是△ABC的重心，可得C₁E∥FH，即可证明C₁E∥平面ADF．
（证法二）取BD中点H，连接EH，C₁H．利用中位线定理可得：EH∥AD．可得：EH∥平面ADF，C₁H∥DF，同理C₁H∥平面ADF．即可证明平面C₁EH∥平面ADF，即可证明．
（2）利用等腰三角形的性质、直三棱柱的性质、线面垂直的判定与性质定理可得△B₁C₁F≌△FCD，
可得B₁F⊥FD，进而证明B₁F⊥平面ADF．

解答 证明：（1）（证法一）连接CE与AD交于点H，连接FH．
因为D是BC的中点，E是AB中点，
所以H是△ABC的重心，
所以CH=2EH，
又因为CF=2C₁F，
所以C₁E∥FH，
因为FH?平面ADF，C₁E?平面ADF，
所以C₁E∥平面ADF．
（证法二）取BD中点H，连接EH，C₁H．
因为H是BD的中点，E是AB中点，所以EH∥AD，
因为AD?平面ADF，EH?平面ADF，所以EH∥平面ADF，
又因为CF=2C₁F，CD=2DH，所以C₁H∥DF，同理C₁H∥平面ADF，
∵EH∩C₁H=H，所以平面C₁EH∥平面ADF，
又C₁E?平面C₁EH，所以C₁E∥平面ADF．
（2）因为AB=AC且D是BC中点，∴AD⊥BC，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴B₁B⊥平面ABC，∴B₁B⊥AD
又AD⊥BC，BB∩BC=B，∴AD⊥平面B₁BCC₁，∴AD⊥B₁F，
∵CC₁=3，CF=2C₁F，∴CF=2，C₁F=1，
在△B₁C₁F与△FCD中，∴B₁C₁=FC=2，C₁F=CD=1，∠B₁C₁F=∠FCD，
∴△B₁C₁F≌△FCD，
∴∠C₁B₁F=∠CFD，∴∠C₁FB₁+∠CFD=90°，∴B₁F⊥FD，
∵FD∩AD=D，∴B₁F⊥平面ADF．

点评 本题考查了空间位置关系、线面平行与垂直的判定性质定理、三角形中位线定理、三角形重心的性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．