Question

17．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的中心为O，一个方向向量为$\overrightarrow{d}$=（1，k）的直线l与Γ只有一个公共点M．
（1）若k=1且点M在第二象限，求点M的坐标；
（2）若经过O的直线l₁与l垂直，求证：点M到直线l₁的距离d≤$\sqrt{5}$-2；
（3）若点N、P在椭圆上，记直线ON的斜率为k₁，且$\overrightarrow{d}$为直线OP的一个法向量，且$\frac{{k}_{1}}{k}$=$\frac{4}{5}$，求|ON|²+|OP|²的值．

Answer 1

分析 （1）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程4x²+5y²=20，可得x的方程，运用直线和椭圆只有一个公共点M，可得△=0，化简整理，解方程可得M的坐标；
（2）设直线l₁：x+ky=0，运用（1）求得M到直线l₁的距离公式，再由基本不等式可得最大值，即可得证；
（3）直线ON的方程为y=$\frac{4}{5}$kx，代入椭圆方程4x²+5y²=20，可得交点N，求得|ON|，同样将直线OP：x+ky=0代入椭圆方程求得P的坐标，可得|OP|，化简整理即可得到所求值．

解答 解：（1）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程4x²+5y²=20，
可得（4+5k²）x²+10ktx+5t²-20=0，
直线l与Γ只有一个公共点M，可得△=0，
即有100k²t²-4（4+5k²）（5t²-20）=0，
化简可得t²=4+5k²，
由k=1可得t=±3，
由点M在第二象限，可得M（-$\frac{5k}{t}$，$\frac{4}{t}$），
即为（-$\frac{5}{3}$，$\frac{4}{3}$）；
（2）证明：设直线l₁：x+ky=0，
由（1）可得M（-$\frac{5k}{t}$，$\frac{4}{t}$），t²=4+5k²，
则点M到直线l₁的距离d=$\frac{|-\frac{5k}{t}+\frac{4k}{t|}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{（1+{k}^{2}）（4+5{k}^{2}）}}$
=$\sqrt{\frac{1}{5{k}^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}+9}}$≤$\sqrt{\frac{1}{9+2\sqrt{4×5}}}$=$\sqrt{\frac{1}{9+4\sqrt{5}}}$=$\sqrt{5}$-2，
当且仅当5k²=$\frac{4}{{k}^{2}}$时，取得等号；
（3）由题意可得直线ON的方程为y=$\frac{4}{5}$kx，
代入椭圆方程4x²+5y²=20，可得（20+16k²）x²=100，
即有x²=$\frac{25}{5+4{k}^{2}}$，y²=$\frac{16{k}^{2}}{5+4{k}^{2}}$，
即有|ON|²=$\frac{25+16{k}^{2}}{5+4{k}^{2}}$，
将直线OP的方程x+ky=0，代入椭圆方程可得，
y²=$\frac{20}{5+4{k}^{2}}$，x²=$\frac{20{k}^{2}}{5+4{k}^{2}}$，
即有|OP|²=$\frac{20+20{k}^{2}}{5+4{k}^{2}}$，
则|ON|²+|OP|²=$\frac{45+36{k}^{2}}{5+4{k}^{2}}$=9．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，直线和椭圆方程联立，运用判别式为0和求得交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．