题目内容
2．为了检测某种水果的农药残留，要求这种水果在进入市场前必须对每箱水果进行两轮检测，只有两轮检测都合格水果才能上市销售，否则不能销售．已知每箱这种水果第一轮检测不合格的概率为$\frac{1}{9}$，第二轮检测不合格的概率为$\frac{1}{10}$，每轮检测结果只有“合格”、“不合格”两种，且两轮检测是否合格相互之间没有影响．（Ⅰ）求每箱水果不能上市销售的概率；
（Ⅱ）如果这种水果可以上市销售，则每箱水果可获利20元；如果这种水果不能上市销售，则每箱水果亏损30元（即获利为-30元）．现有这种水果4箱，记这4箱水果获利的金额为X元，求X的分布列及数学期望．
分析 （Ⅰ）记“每箱水果不能上市销售”为事件A，即两箱都不合格，由对立事件的概率公式可知：P（A）=1-（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{10}$）=$\frac{1}{5}$；
（Ⅱ）可知X的取值为：-120，-70，-20，30，80，然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．
解答 解：（Ⅰ）记“每箱水果不能上市销售”为事件A，即两箱都不合格，
由对立事件的概率公式可知：P（A）=1-（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{10}$）=$\frac{1}{5}$，
所以每箱水果不能上市销售的概率为$\frac{1}{5}$．…（3分）
（Ⅱ）由已知，可知X的取值为：-120，-70，-20，30，80．…（4分）
P（X=-120）=${C}_{4}^{4}$（$\frac{1}{5}$）4（$\frac{4}{5}$）0=$\frac{1}{625}$，
P（X=-70）=${C}_{4}^{3}$（$\frac{1}{5}$）3（$\frac{4}{5}$）1=$\frac{16}{625}$，
P（X=-20）=${C}_{4}^{2}$（$\frac{1}{5}$）2（$\frac{4}{5}$）2=$\frac{96}{625}$，
P（X=30）=${C}_{4}^{1}$（$\frac{1}{5}$）1（$\frac{4}{5}$）3=$\frac{256}{625}$，
P（X=80）=${C}_{4}^{0}$（$\frac{1}{5}$）0（$\frac{4}{5}$）4=$\frac{256}{625}$．…（9分）
所以X的分布列为：
| X | -120 | -70 | -20 | 30 | 80 |
| P | $\frac{1}{625}$ | $\frac{16}{625}$ | $\frac{96}{625}$ | $\frac{256}{625}$ | $\frac{256}{625}$ |
E（X）=-120×$\frac{1}{625}$-70×$\frac{16}{625}$-20×$\frac{96}{625}$+30×$\frac{256}{625}$+80×$\frac{256}{625}$=40，
∴X的数学期望为40元．…（12分）
点评 本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的概率分别和数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题．
| A． | n+1 | B． | n | C． | n-1 | D． | n-2 |
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{1}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | a |
| X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | 0.2 | 0.4-a | 0.5-a | a |
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