已知双曲线C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点分别F1.F2.O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点.直线PO.PF2分别交双曲线C左.右支于另一点.M.N．若|PF1|=2|PF2|.且∠MF2N=60°.则双曲线C的离心率为$\sqrt{3}$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

5．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别F₁，F₂，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF₂分别交双曲线C左，右支于另一点，M，N．若|PF₁|=2|PF₂|，且∠MF₂N=60°，则双曲线C的离心率为$\sqrt{3}$．

分析由题意，|PF₁|=2|PF₂|，|PF₁|-|PF₂|=2a，可得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，由∠MF₂N=60°，可得∠F₁PF₂=60°，由余弦定理可得4c²=16a²+4a²-2•4a•2a•cos60°，即可求出双曲线C的离心率．

解答解：由题意，|PF₁|=2|PF₂|，|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
∵∠MF₂N=60°，∴∠F₁PF₂=60°，
由余弦定理可得4c²=16a²+4a²-2•4a•2a•cos60°，
∴c=$\sqrt{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评本题考查双曲线C的离心率，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．

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