Question

16．已知数列{a_n}的各项均为正数，a₁=2，a_n+1-a_n=$\frac{4}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}$，若数列{$\frac{1}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}$}的前n项和为5，则n=（　　）

• A． 35
• B． 36
• C． 120
• D． 121

Answer 1

分析 由已知推导出a_n=$2\sqrt{n}$.${a}_{n+1}=2\sqrt{n+1}=22$，由此能求出n．

解答 解：∵数列{a_n}的各项均为正数，a₁=2，a_n+1-a_n=$\frac{4}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}$，
∴${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}$=4，
∴${{a}_{n+1}}^{2}=4+{{a}_{n}}^{2}$，∴${a}_{n+1}=\sqrt{4+{{a}_{n}}^{2}}$，
∵a₁=2，∴${a}_{2}=\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
${a}_{3}=\sqrt{8+4}$=2$\sqrt{3}$，
${a}_{4}=\sqrt{12+4}$=4=2$\sqrt{4}$，
…
由此猜想a_n=$2\sqrt{n}$．
∵a₁=2，a_n+1-a_n=$\frac{4}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}$，数列{$\frac{1}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}$}的前n项和为5，
∴$\frac{1}{4}（{a}_{2}-{a}_{1}+{a}_{3}-{a}_{2}+…+{a}_{n+1}-{a}_{n}）$=$\frac{1}{4}（{a}_{n+1}-2）=5$，
∴${a}_{n+1}=2\sqrt{n+1}=22$，解得n+1=121，∴n=120．
故选：C．

点评 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式、累加法的合理运用．