Question

19．数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n+S_n=n，c_n=a_n-1．数列{b_n}中，b₁=a₁，b_n=a_n-a_n-1（n≥2），
（1）求证：数列{c_n}是等比数列；    
（2）求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由a_n+S_n=n，得a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1+S_n+1=n+1，从而得到$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，由此能证明数列{c_n}是首项为-$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．
（2先求出c_n=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，从而当n≥2时，b_n=a_n-a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n}}$，由此能求出数列{b_n}的通项公式．

解答 证明：（1）∵a₁=S₁，a_n+S_n=n，
∴a₁+S₁=2a₁=1，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
又a_n+1+S_n+1=n+1，两式相减得2（a_n+1-1）=a_n-1，
即$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∵${c}_{1}={a}_{1}-1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$，
故数列{c_n}是首项为-$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．
解：（2）∵数列{c_n}是首项为-$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴c_n=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，a_n=c_n+1=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，a_n-1=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∴当n≥2时，b_n=a_n-a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
又b₁=a₁=$\frac{1}{2}$，即b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．
∴数列{b_n}的通项公式b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．