Question

12．等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x-y=0，一条直角边所在直线l的斜率为$\frac{1}{2}$，且经过点（4，-2），且此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标．

Answer 1

分析 设出等腰三角形顶点为A，斜边所在直线L₁为：y=3x，一条直角边所在直线L₂为：y=kx+b，L₁与L₂交于点B，求出B的坐标，设直角边长为m，结合两点间的距离公式，得到关于x的方程，解出即可．

解答 解：设此等腰三角形顶点为A，
斜边所在直线L₁为：y=3x，
一条直角边所在直线L₂为：y=kx+b，L₁与L₂交于点B，
由L₂过点（4，-2）且斜率为$\frac{1}{2}$，代入其解析式，
得-2=$\frac{1}{2}$×4+b，解得b=-4，
则L₂解析式为y=$\frac{1}{2}$x-4，
解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{y=\frac{1}{2}x-4}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8}{5}}\\{y=-\frac{24}{5}}\end{array}\right.$，
即B点坐标为（-$\frac{8}{5}$，-$\frac{24}{5}$）
要求A点坐标，即为求直线L₂上到B点距离等于此三角形直角边的长度的点，
设直角边长为m，由此等腰三角形面积为10，得：
m²=20，m=$\sqrt{20}$，
设A点坐标为（x，$\frac{1}{2}$x-4），则（根据直角坐标系两点间的距离公式）
（x+$\frac{8}{5}$））²+（（$\frac{1}{2}$x-4）+$\frac{24}{5}$）²=m²=20，
解得，x=$\frac{12}{5}$或-$\frac{28}{5}$，
所以，A（$\frac{12}{5}$，-$\frac{14}{5}$）或（-$\frac{28}{5}$，-$\frac{34}{5}$）．

点评 本题考查了直线方程问题，考查两点间的距离公式，是一道中档题．