Question

5．已知函数$f（x）=\frac{lnx}{x}$．
（1）求f（x）的极值；
（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e-x）；
（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x₁，f（x₁）、B（x₂，f（x₂）），中点横坐标为x₀，证明：f'（x₀）＜0．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；
（2）问题转化为证明（e-x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e-x），设F（x）=（e-x）ln（e+x）-（e+x）ln（e-x），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，f（x）的定义域是（0，+∞），
x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
当x=e时，f（x）取极大值为$\frac{1}{e}$，无极小值．
（2）要证f（e+x）＞f（e-x），即证：$\frac{ln（e+x）}{e+x}＞\frac{ln（e-x）}{e-x}$，
只需证明：（e-x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e-x）．
设F（x）=（e-x）ln（e+x）-（e+x）ln（e-x），
$F'（x）=\frac{{2（{e^2}+{x^2}）}}{{{e^2}-{x^2}}}-ln（{e^2}-{x^2}）=[2-ln（{e^2}-{x^2}）]+\frac{{4{x^2}}}{{{e^2}-{x^2}}}＞0$，
∴F（x）＞F（0）=0，
故（e-x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e-x），
即f（e+x）＞f（e-x），
（3）证明：不妨设x₁＜x₂，由（1）知0＜x₁＜e＜x₂，∴0＜e-x₁＜e，
由（2）得f[e+（e-x₁）]＞f[e-（e-x₁）]=f（x₁）=f（x₂），
又2e-x₁＞e，x₂＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减，
∴2e-x₁＜x₂，即x₁+x₂＞2e，
∴${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}＞e$，∴f'（x₀）＜0．

点评 本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力．