Question

已知极坐标系与直角坐标系长度单位相同，且以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴．设直线C₁：

x=1+tcosα y=tsinα

（t为参数），曲线C₂：ρ=1．
（Ⅰ）当α=

π

3

时，求曲线C₁的极坐标方程及极径ρ（ρ＞0）的最小值；
（Ⅱ）求曲线C₁与C₂两交点的直角坐标（用α表示）．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：对第（Ⅰ）问，先将直线C₁的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程，接着写出极径ρ关于θ的表达式，可得ρ的最小值；
对第（Ⅱ）问，将C₂的方程化为直角坐标方程，联立C₁的普通方程，把α看作常数，解此方程组，即得交点坐标．

解答：解：（Ⅰ）当α=

π

3

时，C₁的普通方程为y=

3

(x-1)，
将y=ρsinθ，x=ρcosθ，代入上式得ρsinθ-

3

ρcosθ=-

3

，
故C₁的极坐标方程为ρcos(θ+

π

6

)=

3

2

． 
∵ρ＞0，∴ρ=

3 2

cos(θ+ π 6 )

，且0＜cos(θ+

π

6

)≤1，
∴当cos(θ+

π

6

)=1时，得θ+

π

6

=2kπ，k∈Z，
取k=1，得θ=

11π

6

时，极径ρ有最小值

3

2

． 
（Ⅱ）消去参数t，得C₁的普通方程为y=（x-1）tanα，…①
由ρ²=x²+y²，得C₂的普通方程为x²+y²=1，…②
将①式代入②式中，得（1+tan²α）x²-2xtan²α+tan²α-1=0，
设C₁与C₂的两交点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1=

2tan2α+ △

2(tan2α+1)

=1，x2=

2tan2α- △

2(tan2α+1)

=

tan2α-1

tan2α+1

，
从而y₁=（x₁-1）tanα=0，y2=(x2-1)tanα=-

2tanα

tan2α+1

，
即C₁与C₂两交点的直角坐标为（1，0），(

tan2α-1

tan2α+1

，-

2tanα

tan2α+1

)．

点评：1．本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程，普通方程之间的互化．
（1）参数方程化普通方程时，关键是消参，常见消参方式有：代入法，等式两边同时平方，两式相加、减，两式相乘、除等，应注意方程在变形过程中的等价性；
（2）在进行极坐标方程与直角坐标方程之间的互化时，应掌握一些常见的构造或凑配技巧（如方程两边同时乘以ρ，方程两边同时平方等）．关键是记住并会运用公式：

x=ρcosθ y=ρsinθ

和

ρ2=x2+y2(或ρ= x2+y2 ) tanθ= y x (x≠0)

，一般取θ∈[0，2π），ρ的范围可根据具体情况而定．
2．在处理参数方程或极坐标方程的问题时，一般先将这些方程化为普通方程或直角坐标方程，再进行其他相关运算．