Question

1．如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC=2PA=2，∠PAB=∠PAC=∠BAC=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ） 证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合余弦定理求得PB、PC的长度，可得AP⊥PB，AP⊥PC，再由线面垂直的判定可得AP⊥平面PBC，则AP⊥BC；
（Ⅱ）求解直角三角形可得PB=PC=$\sqrt{3}$，又∠BAC=$\frac{π}{3}$，得BC=2，进一步求出△PBC边BC上的高，得到${S}_{△PBC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}=\sqrt{2}$．结合V_P-ABC=V_A-PBC可得
三棱锥P-ABC的体积．

解答 （Ⅰ）证明：由已知可得$AP=1，AB=2，∠PAB=\frac{π}{3}$，
由余弦定理得$PB=\sqrt{A{P}^{2}+A{B}^{2}-2AP•AB•cos\frac{π}{3}}=\sqrt{3}$，则AB²=PB²+AP²，
∴AP⊥PB，同理AP⊥PC，又PB∩PC=P．
∴AP⊥平面PBC，则AP⊥BC；
（Ⅱ） 解：在Rt△APB中，由AB=2PA=2，得PB=$\sqrt{3}$，
同理求得PC=$\sqrt{3}$，又∠BAC=$\frac{π}{3}$，∴BC=2，
∴△PBC边BC上的高为$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{2}$，
则${S}_{△PBC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}=\sqrt{2}$．
∵V_P-ABC=V_A-PBC，
∴${V_{P-ABC}}={V_{A-PBC}}=\frac{1}{3}AP•{S_{△PBC}}=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．