Question

4．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；   
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a-$\sqrt{3}$c）cosB=$\sqrt{3}$bcosC，求f（$\frac{A}{2}$）+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据图象求出A，ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（2a-$\sqrt{3}$c）cosB=$\sqrt{3}$bcosC，利用正弦定理化简，可得B的大小，从而得到A的范围，利用三角函数的性质即可求f（$\frac{A}{2}$）+sinC的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由图象知，A=2，T=π，∴ω=2，
由图象可知，f（$\frac{π}{6}$）=2，∴2cos（$\frac{π}{3}$+φ）=2，
∴$\frac{π}{3}$+φ=2kπ，又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{3}$，∴f（x）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）依题设（2a-$\sqrt{3}$c）cosB=$\sqrt{3}$bcosC，
∴（2sinA-$\sqrt{3}$sinC）cosB=$\sqrt{3}$sinBcosC，
即2sinAcosB=$\sqrt{3}$（sinCcosB+sinBcosC）=$\sqrt{3}$sinA，
∴cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{6}$．∴A+C=$\frac{5π}{6}$．
由（Ⅰ）知，f（$\frac{A}{2}$）+sinC=2cos（A-$\frac{π}{3}$）+sinC=3sin（A+$\frac{π}{6}$），
又∵A$∈（0，\frac{5π}{6}）$，∴A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，π），∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（0，1]，
∴f（$\frac{A}{2}$）+sinC的取值范围是（0，3]．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．