Question

7．计算
（1）$\frac{tan10°tan70°}{tan70°-tan10°+tan120°}$    
（2）$\frac{{2cos40°+cos10°（1+\sqrt{3}tan10°）}}{{\sqrt{1+cos10°}}}$．

Answer 1

分析 （1）由tan（70°-10°）=$\frac{tan70°-tan10°}{1+tan70°•tan10°}$=$\sqrt{3}$，可得tan70°-tan10°=$\sqrt{3}$（1+tan70°tan10°），代入所求代数式即可得出．
（2）利用同角三角函数基本关系式、和差公式即可得出．

解答 解：（1）由tan（70°-10°）=$\frac{tan70°-tan10°}{1+tan70°•tan10°}$=$\sqrt{3}$，
∴tan70°-tan10°=$\sqrt{3}$（1+tan70°tan10°），代入所求代数式得：
$\frac{tan70°tan10°}{\sqrt{3}（1+tan70°tan10°）+tan120°}$=$\frac{tan70°tan10°}{\sqrt{3}（1+tan70°tan10°）-\sqrt{3}}$=$\frac{tan70°tan10°}{\sqrt{3}tan70°tan10°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）原式=$\frac{cos20°cos10°}{sin20°}$+$\frac{\sqrt{3}sin10°sin70°}{cos70°}$-2cos40°
=$\frac{cos20°cos10°+\sqrt{3}sin10°cos20°}{sin20°}$-2cos40°
=$\frac{cos20°（cos10°+\sqrt{3}sin10°）}{sin20°}$-2cos40°
=$\frac{2cos20°（cos10°sin30°+sin10°cos30°）}{sin20°}$-2cos40°
=$\frac{2cos20°sin40°-2sin20°cos40°}{sin20°}$=$\frac{2sin（4{0}^{°}-2{0}^{°}）}{sin2{0}^{°}}$=2．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．