Question

9．（1）已知复数z₁满足（z₁-2）（1+i）=1-i（i为虚数单位），复数z₂的虚部为2，且z₁•z₂是实数，求z₂．
（2）已知x＞0，y＞0，x≠y，试比较$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$与$\frac{4}{x+y}$的大小，并用分析法证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用复数的运算法则即可得出；
（2）利用分析法即可得出大小关系．

解答 解：（1）∵（z₁-2）（1+i）=1-i，∴z₁=2-i，
$\begin{array}{l}设{z_2}=a+2i，a∈R\\{z_1}•{z_2}=（2-i）（a+2i）=（2a+2）+（4-a）i\end{array}$
∵z₁•z₂∈R，∴a=4，
∴z₂=4+2i．
（2）结论：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}＞\frac{4}{x+y}$
证明：∵x＞0，y＞0，∴要证　$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}＞\frac{4}{x+y}$，
只需证：$\frac{x+y}{xy}＞\frac{4}{x+y}$，
只需证：（x+y）²＞4xy，
只需证：（x-y）²＞0，
∵x≠y，∴（x-y）²＞0成立，
∴结论成立．

点评 本题考查了复数的运算法则、分析法比较数的大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．