Question

4．已知a＞0且a≠1，若函数f（x）=log_a（ax²-2x+3）在[$\frac{1}{2}$，2]上是增函数，则a的取值范围是（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 对a是否大于1进行分情况讨论，利用复合函数的单调性得出二次函数在[$\frac{1}{2}$，2]的单调性，列出不等式组解出a的范围．

解答 解：设g（x）=ax²-2x+3，则g（x）的图象开口向上，对称轴为x=$\frac{1}{a}$．
（1）若0＜a＜1，则g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上是减函数，且g_min（x）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}≥2}\\{4a-1＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{4}＜a≤\frac{1}{2}$；
（2）若a＞1，则g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上是增函数，且g_min（x）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}≤\frac{1}{2}}\\{\frac{a}{4}+2＞0}\end{array}\right.$，解得a≥2．
综上，a的取值范围是（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）．

点评 本题考查了复合函数的单调性，对数函数，二次函数的性质，属于中档题．