Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{|x-2|+|x+5|-m}$的定义域为R．
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若m=4，解不等式f（x）＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把函数f（x）=$\sqrt{|x-2|+|x+5|-m}$的定义域为R转化为对任意实数x，有|x-2|+|x+5|-m≥0恒成立，然后利用绝对值的几何意义求得|x-2|+|x+5|的最小值得答案；
（Ⅱ）把m值代入不等式，化为绝对值的不等式后再由绝对值的几何意义求解．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=$\sqrt{|x-2|+|x+5|-m}$的定义域为R，
∴对任意实数x，有|x-2|+|x+5|-m≥0恒成立，
即m≤|x-2|+|x+5|恒成立，
由|x-2|+|x+5|的几何意义，即数轴上的动点x与两定点2、-5的距离之和得：

（|x-2|+|x+5|）_min=7，
∴m≤7；
（Ⅱ）当m=4时，f（x）=$\sqrt{|x-2|+|x+5|-4}$，
由f（x）＞2，得$\sqrt{|x-2|+|x+5|-4}$＞2，
即|x-2|+|x+5|＞8，
结合|x-2|+|x+5|的几何意义，可得x$＜-\frac{11}{2}$或x$＞\frac{5}{2}$，
∴不等式f（x）＞2的解集为（-∞，$-\frac{11}{2}$）∪（$\frac{5}{2}，+∞$）．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了数学转化思想方法，训练了绝对值的几何意义的用法，是中档题．