Question

9．某水利工程队相应政府号召，计划在韩江边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为32400m²的矩形鱼塘，其四周都留有宽3m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最少．

Answer 1

分析 设鱼塘的长为xm，宽为ym，农田面积为s，则农田长为（x+6）m，宽为（y+6）m，xy=32400，s=（x+6）•（y+6）=xy+6（x+y）+36，再由基本不等式即可得到所求最小值，及对应的x，y的值．

解答 解：设鱼塘的长为xm，宽为ym，农田面积为s，
则农田长为（x+6）m，宽为（y+6）m，xy=32400，
s=（x+6）•（y+6）=xy+6（x+y）+36，
∴$s═32436+6（x+y）≥32436+12\sqrt{xy}=34596$，
当且仅当x=y=180时取等号，所以当x=y=180，s=34596m²，
答：当选的农田的长和宽都为186m时，才能使占有农田的面积最少．

点评 本题考查基本不等式在最值问题中的运用，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．