Question

18．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=-1，若x、y∈[-1，1]，x+y≠0，则$\frac{f（x）+f（y）}{x+y}$＜0
（1）用定义证明，f（x）在[-1，1]上是减函数；
（2）解不等式：f（$\frac{1}{x-1}$）＜f（x+$\frac{1}{2}$）；
（3）若f（x）≥t²-2at-1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]均成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，利用x，y∈[-1，1]，x+y≠0有$\frac{f（x）+f（y）}{x+y}$＜0，可得f（x₁）+f（-x₂）＞0，根据函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，即可得函数f（x）在[-1，1]上单调减；
（2）由（1）知，-1≤x+$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{x-1}$≤1，联立不等式组求解即可；
（3）先确定函数f（x）在[-1，1]上的最小值为f（1）=-1，将f（x）≥t²-2at-1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]均成立，转化为：t²-2at≤0对所有a∈[-1，1]恒成立，从而可求实数t的取值范围．

解答 （1）证明：设x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
∵x，y∈[-1，1]，x+y≠0时，有$\frac{f（x）+f（y）}{x+y}$＜0．
令x=x₁，y=-x₂，
∴f（x₁）+f（-x₂）＞0，
∵函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在[-1，1]上单调减；
（2）解：由（1）知，-1≤x+$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{x-1}$≤1，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}≥-1}\\{\frac{1}{x-1}≤1}\\{x+\frac{1}{2}＜\frac{1}{x-1}}\end{array}\right.$，解得：$-\frac{3}{2}≤x＜-1$；
（3）解：由于函数f（x）在[-1，1]上单调递减，
∴函数f（x）在[-1，1]上的最小值为f（1）=-1，
∴f（x）≥t²-2at-1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]均成立，可转化为：t²-2at≤0对所有a∈[-1，1]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+2t≤0}\\{{t}^{2}-2t≤0}\end{array}\right.$，解得：t=0．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查函数的单调性，考查单调性与奇偶性的结合，解题的关键是：f（x）≥t²-2at-1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]均成立，可转化为：t²-2at≤0对所有a∈[-1，1]恒成立，是中档题．