Question

18．已知函数f（x）=lnx+x+$\frac{a}{x}$．
（Ⅰ）若a=-2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥a+1在（0，+∞）上恒成立，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得f（x）=lnx+x-$\frac{2}{x}$，从而f′（x）=$\frac{1}{x}+1+\frac{2}{{x}^{2}}$，利用导数的几何意义能求出切线方程．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-a-1=lnx+x+$\frac{a}{x}$-a-1，则${g}^{'}（x）=\frac{1}{x}+1-\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，由a≤0和a＞0分类讨论，得到要使g（x）≥0对任意正数x恒成立，需且只需g（x）_min=$ln{x}_{0}-{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}$≥0，令μ（x）=lnx-x²+x，x＞0，则${μ}^{'}（x）=\frac{1}{x}-2x+1$=$\frac{-（x-1）（2x+1）}{x}$，利用导数性质列表讨论经，得到lnx₀-x₀²+x₀≤0，由此能求出a．

解答 解：（Ⅰ）依题意，f（x）=lnx+x-$\frac{2}{x}$，∴f′（x）=$\frac{1}{x}+1+\frac{2}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=4，又f（1）=-1，
∴所求切线方程为4x-y-5=0．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-a-1=lnx+x+$\frac{a}{x}$-a-1，
则${g}^{'}（x）=\frac{1}{x}+1-\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，
①当a≤0时，g′（x）＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又∵g（1）=0，∴当x∈（0，1）时，g（x）＜0，
故不满足题意．
②当a＞0时，由g′（x）=0，得x²+x-a=0，此方程有唯一正根x₀，∴a=${{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}$，（*）
当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：

x	（0，x0）	x0	（x0，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	单调递减	极小值	单调递增

∴g（x）_min=g（₀）=$ln{x}_{0}+{x}_{0}+\frac{a}{{x}_{0}}-a-1$=$ln{x}_{0}+{x}_{0}+\frac{{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}}{{x}_{0}}-{{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}-1$=$ln{x}_{0}-{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}$，
要使g（x）≥0对任意正数x恒成立，需且只需g（x）_min=$ln{x}_{0}-{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}$≥0，①
令μ（x）=lnx-x²+x，x＞0，
则${μ}^{'}（x）=\frac{1}{x}-2x+1$=$\frac{-（x-1）（2x+1）}{x}$，
当x变化时，μ′（x），μ（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
μ′（x）	+	0	-
μ（x）	单调递增	极大值	单调递减

∴μ_max=μ（1）=0，即lnx₀-x₀²+x₀≤0，②
由①②得lnx₀-x₀²+x₀=0，∴x₀=1，
结合（*）得a=${{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}=2$，
综上所述，a=2．

点评 本题考查切线方程的求法，考查实数值的求法，考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，着重考查运算求解能力及推理论证能力，是中档题．