Question

如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M, N分别是AB, PC的中点.

(1)求证：MN∥平面PAD；

(2)求证：MN⊥DC；

 

 

Answer 1

（1）见解析（2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）令E为PD的中点，连接AE，NE，根据三角形中位线定理，及中点的定义，我们易判断MN∥AE，结合线面平行的判定定理，即可得到MN∥平面PAD；

（2）根据已知中，四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，我们易结合线面垂直的判定定理，得到DC⊥平面PAD，进而得到DC⊥AE，由（1）中AE∥MN，根据两条平行线与同一条直线的夹角相等，即可得到结论．

试题解析：（1）设PD的中点为E，连AE, NE，则易得四边形AMNE是平行四边形，则 MN∥AE ，

， 所以 MN∥平面PAD

（2）∵PA⊥平面ABCD ， CD，∴PA⊥CD

又AD⊥CD , PA∩DA=A，∴ CD平面PAD ，∵

∴CD⊥AE ∵MN∥AE ∴MN⊥DC

考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．