Question

已知函数f（x）=log

1

2

（x²-mx-m），
（1）若m=1，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）x²-x-1＞0⇒x＞

1+ 5

2

或x＜

1- 5

2

，由此能求出其定义域．
（2）由于f（x）值城为R，因此其真数N（x）=x²-mx-m应能取遍所有的正数，结合二次函数N（x）图象能求出m的范围．

解答： 解：（1）x²-x-1＞0⇒x＞

1+ 5

2

或x＜

1- 5

2

，
因此函数f（x）=log

1

2

（x²-mx-m）的定义域为（-∞，

1- 5

2

）∪（

1+ 5

2

，+∞）
（2）由于f（x）值城为R，
因此其真数N（x）=x²-mx-m应能取遍所有的正数，
结合二次函数N（x）图象易知△≥0，
∴m≤-4，或m≥0，
即m∈（-∞，-4）∪（0，+∞）．

点评：本题考查对数函数的定义域、值域、最值和单调性的应用，解题时要充分运用对数函数的性质求解．