Question

19．已知a≠0，函数f（x）=ax（x-1）²（x∈R）有极大值4．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）先将函数f（x）展开，然后对函数f（x）进行求导，解关于导函数的不等式，再由函数的单调性进行验证从而最终确定答案．
（2）根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可求单调区间．

解答 解：（1）∵f（x）=ax（x-1）²=ax³-2ax²+ax，
∴f′（x）=3ax²-4ax+a．
由f′（x）=a（3x²-4x+1）=a（3x-1）（x-1）．
①当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$）递增，在（$\frac{1}{3}$，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴当x=$\frac{1}{3}$时，f（x）有极大值4，即$\frac{1}{3}$a${（\frac{1}{3}-1）}^{2}$=4，
解得：a=27，符合题意；
②当a＜0时，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$）递减，在（$\frac{1}{3}$，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴当x=1时，f（x）有极大值4，即$\frac{1}{3}$a•0=4，不成立，
综上：a=27；
（2）由（1）得：f（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$）递增，在（$\frac{1}{3}$，1）递减，在（1，+∞）递增．

点评 本题主要考查函数的极值、单调性与其导函数之间的关系．属中档题．