Question

16．若命题“?x₀∈（0，+∞），使lnx₀-ax₀＞0”是假命题，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据特称命题为假命题，转化为“?x∈（0，+∞），使lnx-ax≤0”恒成立，利用参数分离法进行转化，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性额最值进行求解即可．

解答 解：若命题“?x₀∈（0，+∞），使lnx₀-ax₀＞0”是假命题，
则命题“?x∈（0，+∞），使lnx-ax≤0”恒成立，
即ax≥lnx，
即a≥$\frac{lnx}{x}$，
设f（x）=$\frac{lnx}{x}$，则f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得1-lnx＞0得lnx＜1，则0＜x＜e，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得1-lnx＜0得lnx＞1，则x＞e，此时函数单调递减，
即当x=e时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值，此时f（e）=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$，
故a≥$\frac{1}{e}$，
故答案为：[$\frac{1}{e}$，+∞）

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据特称命题和全称命题之间的关系，进行转化为不等式恒成立，以及可以参数分离法和构造法是解决本题的关键．