题目内容

设向量| $数学公式$ |= $数学公式$ x，| $数学公式$ |= $数学公式$ ，且 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角为 $数学公式$ ，若f（x）=（ $数学公式$ + $数学公式$ ）•（ $数学公式$ -λ $数学公式$ ）≤ $数学公式$ （λ-1）x在区间[ $数学公式$ ， $数学公式$ ]上恒成立，则实数λ的取值范围是

A.
[0，+∞）
B.
[ $数学公式$ ，+∞）
C.
[ $数学公式$ ，5]
D.
[5，+∞）

D
分析：利用向量的数量积公式，再利用分离参数法，确定相应函数的最值，即可求实数λ的取值范围．
解答：由题意，∵| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ x，| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，
∴f（x）=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ -λ $\text{[math]}$ ）=5x²-2λ+（1-λ）× $\text{[math]}$ x× $\text{[math]}$ ×cos $\text{[math]}$
∴不等式等价于5x²-2λ+（1-λ）× $\text{[math]}$ x× $\text{[math]}$ ×cos $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ （λ-1）x在区间[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上恒成立，
∴5x²-2λ≤0在区间[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上恒成立，
∴ $\text{[math]}$ 在区间[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上恒成立
∵函数 $\text{[math]}$ 在区间[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上的最大值为5
∴λ≥5
故选D．
点评：本题考查向量的数量积，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，确定相应函数的最值，属于中档题．