Question

18．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中E，G，H分别为BC，C₁D₁，AA₁的中点．
（ 1）求证：EG∥平面BDD₁B₁；
（ 2）求异面直线B₁H与 EG所成的角．

Answer 1

分析 （1）线面平行转化为证明线线平面，连结AC交BD于O连结DO，OE，E，G，H分别为BC，C₁D₁，AA₁的中点，可证四边形OEGD₁为平行四边形，可得EG∥平面BDD₁B₁
（2）找到异面直线的平面角，延长DB于M，连结B₁M，HM，∠HB₁M为所求角，利用余弦定理可得角的大小．

解答 解：（1）证明：ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，E，G，H分别为BC，C₁D₁，AA₁的中点，
连结AC交BD于O连结DO，OE，
∵$OE\underline{\underline∥}\frac{1}{2}CD，OD\underline{\underline∥}{D_1}G$
∴四边形OEGD₁为平行四边形
∴EG∥OD₁，又EG?面BDD₁B₁，OD₁?面BDD₁B₁，
∴EG∥平面BDD₁B₁．
（2）延长DB于M，使$BM=\frac{1}{2}BD$，
连结B₁M，HM，∠HB₁M为所求角．
设正方体边长为1，则${B_1}M=\frac{{\sqrt{6}}}{2}，{B_1}H=\frac{{\sqrt{5}}}{2}，AM=\frac{{\sqrt{10}}}{2}，HM=\frac{{\sqrt{11}}}{2}$，
∴cos∠HB₁M=0，
∴B₁H与EG所成的角为90°．

点评 本题考查了线面平行的证明，只需要证明这条直线平行于平面内的一条直线即可．异面直线的角，要找到它们在同一个平面的角，通过平移，中位线，延长相交等求解．属于基础题．