Question

10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1），B（4，5），C（-1，-1）．
（1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（2）若向量$\overrightarrow{AC}-t\overrightarrow{OB}$与向量$\overrightarrow{OB}$垂直，求实数t的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的坐标运算、数量积运算性质即可得出．
（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}=（2，4）$，$\overrightarrow{AC}=（-3，-2）$，
由$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=（-1，2）$，得$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=\sqrt{5}$，
由$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=（5，6）$，得$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=\sqrt{61}$．
故以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长$\sqrt{5}$，$\sqrt{61}$．
（2）$\overrightarrow{OB}=（4，5）$，由向量$\overrightarrow{AC}-t\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OB}$垂直，
得$（{\overrightarrow{AC}-t\overrightarrow{OB}}）•\overrightarrow{OB}=0$，
又$\overrightarrow{AC}-t\overrightarrow{OB}=（{-3，-2}）-t（{4，5}）=（{-3-4t，-2-5t}）$，
∴（-3-4t）×4+（-2-5t）×5=0，解得$t=-\frac{22}{41}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．