Question

18．定义在（0，$\frac{π}{2}$）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立．则下列不等关系成立的是（　　）

• A． $\sqrt{3}$•f（$\frac{π}{6}$）＞2cos1•f（1）
• B． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$）
• C． $\sqrt{6}$f（$\frac{π}{6}$）＞2f（$\frac{π}{4}$）
• D． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＞f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 将条件f（x）＜f'（x）tanx转化为$\frac{f'（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$＞0，即（$\frac{f（x）}{sinx}$）'＞0，构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，则g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增．根据单调性可知，g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{3}$），也就是$\frac{f（\frac{π}{6}）}{sin\frac{π}{6}}＜\frac{f（\frac{π}{3}）}{sin\frac{π}{3}}$，即$\sqrt{3}f（\frac{π}{6}）＜f（\frac{π}{3}）$．

解答 解：∵f（x）＜f'（x）tanx，
∴$f（x）＜\frac{f'（x）sinx}{cosx}$，
∵$x∈（0，\frac{π}{2}）$，∴cosx＞0，
∴f'（x）sinx-f（x）cosx＞0
记g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，x$∈（0，\frac{π}{2}）$，
则g'（x）=$（\frac{f（x）}{sinx}）'=\frac{f'（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}＞0$，
∴$g（x）在（0，\frac{π}{2}）$上单调递增，
∴$g（\frac{π}{6}）＜g（\frac{π}{3}）$，
∴$\frac{f（\frac{π}{6}）}{sin\frac{π}{6}}＜\frac{f（\frac{π}{3}）}{sin\frac{π}{3}}$，即$\sqrt{3}f（\frac{π}{6}）＜f（\frac{π}{3}）$．
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，判断函数值的大小，将条件进行转化构造新函数是解决本题的关键．