Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=

3

3

bcosA．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）设a=

2

，S为△ABC的面积，求S+2cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．

Answer 1

考点：正弦定理的应用

专题：综合题,解三角形

分析：（Ⅰ）由正弦定理，结合asinB=

3

3

bcosA，可求A；
（Ⅱ）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2

2

，可得S=

1

2

bcsinA=2sinBsinC，从而可求S+2cosBcosC的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵asinB=

3

3

bcosA，
∴由正弦定理得：sinAsinB=

3

3

sinBcosA，
∴tanA=

3

3

，
∴A=

π

6

；
（Ⅱ）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2

2

，
∴S=

1

2

bcsinA=2sinBsinC，
∴S+2cosBcosC=2sinBsinC+2cosBcosC=2cos（B-C）≤2，
当且仅当B=C=

5π

12

时，S+2cosBcosC的最大值为2．

点评：本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．