Question

已知双曲线=1(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为y=x,两条准线的距离为1.

(1)求双曲线的方程;

(2)直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N,点P为双曲线上异于M、N的一点,且直线PM、PN的斜率均存在,求k_PM·k_PN的值.

Answer 1

解:(1)依题意有解得a²=1,b²=3.

可得双曲线方程为x²=1.

(2)设M(x₀,y₀)，由双曲线的对称性,可得N(-x₀,-y₀).

设P(x_P,y_P),

则k_PM·k_PN=·=.

又x₀²=1,

可得y₀²=3x₀²-3.

同理y_P²=3x_P²-3,

所以k_PM·k_PN==3.