Question

15．在△ABC中，$AB=3，AC=2，\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}，则\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{DB}$的值为（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $-\frac{5}{2}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $-\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 根据题意画出图形，结合平面向量的线性表示与数量积运算，即可求出运算结果．

解答 解：如图所示，
△ABC中，AB=3，AC=2，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，
∴D为BC的中点，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）；
又$\overrightarrow{DB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$），
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{AB}}^{2}$-${\overrightarrow{AC}}^{2}$）=$\frac{1}{4}$×（3²-2²）=$\frac{5}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题目．