Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线${y^2}=8\sqrt{2}x$的焦点相同，F₁，F₂为椭圆的左、右焦点．M为椭圆上任意一点，△MF₁F₂面积的最大值为4$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上的任意一点N（x₀，y₀），从原点O向圆N：（x-x₀）²+（y-y₀）²=3作两条切线，分别交椭圆于A，B两点．试探究|OA|²+|OB|²是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点，可得c，再由当M位于椭圆短轴端点处△MF₁F₂面积取得最大值．可得b，由a，b，c的关系求得a，进而得到椭圆方程；
（2）设直线OA：y=k₁x，OB：y=k₂x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设过原点圆（x-x₀）²+（y-y₀）²=3的切线方程为y=kx，运用直线和圆相切的条件：d=r，联立直线OA、OB方程和椭圆方程，求得A，B的坐标，运用韦达定理，化简整理，即可得到定值．

解答 解：（1）抛物线${y^2}=8\sqrt{2}x$的焦点为（2$\sqrt{2}$，0），
由题意可得c=2$\sqrt{2}$，
△MF₁F₂面积的最大值为4$\sqrt{2}$，可得当M位于椭圆短轴端点处取得最大值．
即有$\frac{1}{2}$b•2c=4$\sqrt{2}$，解得b=2，a²=b²+c²=4+8=12，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；                       
（2）证明：设直线OA：y=k₁x，OB：y=k₂x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设过原点圆（x-x₀）²+（y-y₀）²=3的切线方程为y=kx，
则有$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，整理得（x₀²-3）k²-2x₀y₀k+y₀²-3=0，
即有k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-3}$，k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-3}{{{x}_{0}}^{2}-3}$，
又因为$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{12}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，所以可求得k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-3}{12-3{{y}_{0}}^{2}-3}$=-$\frac{1}{3}$，
将y=k₁x代入椭圆方程x²+3y²=12，
得x₁²=$\frac{12}{1+3{{k}_{1}}^{2}}$，则y₁²=$\frac{12{{k}_{1}}^{2}}{1+3{{k}_{1}}^{2}}$，
同理可得x₂²=$\frac{12}{1+3{{k}_{2}}^{2}}$，y₂²=$\frac{12{{k}_{2}}^{2}}{1+3{{k}_{2}}^{2}}$，
所以|OA|²+|OB|²=$\frac{12（1+{{k}_{1}}^{2}）}{1+3{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{12（1+{{k}_{2}}^{2}）}{1+3{{k}_{2}}^{2}}$
=$\frac{12（1+{{k}_{1}}^{2}）（1+3{{k}_{2}}^{2}）+12（1+{{k}_{2}}^{2}）（1+3{{k}_{1}}^{2}）}{（1+3{{k}_{1}}^{2}）（1+3{{k}_{2}}^{2}）}$
=$\frac{16[2+3（{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}）]}{2+3（{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}）}$=16．
所以|OA|²+|OB|²的值为定值16．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，以及直线和圆相切的条件，考查化简运算能力，属于中档题．